67. Диагональ AC ромба ABCD равна 12, а tg∠BCA = 4/3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Пусть диагонали ромба пересекаются в точке O. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому OC = 12/2 = 6. В прямоугольном треугольнике BOC: tg∠BCA = BO/OC = 4/3, значит BO = 8 и BD = 16.

Сторона ромба: s = √(6² + 8²) = 10. Площадь ромба: S = AC · BD/2 = 12 · 16/2 = 96. Для вписанной окружности S = r · 2s, откуда r = 96/(2 · 10) = 24/5.

Ответ: 24/5.