67. Докажите, что при любых допустимых значениях переменной значение выражения: а) a³/(a − 3) − (3a³ + 81)/(a² − 9) является положительным числом; б) (2b² + 8b + 6)/(b² − 9) + (b − 1)³/(3 − b) является отрицательным числом.

а) Приведём к общему знаменателю:

\[\frac{a^3}{a-3}-\frac{3a^3+81}{a^2-9}=\frac{a^3(a+3)-3(a^3+27)}{(a-3)(a+3)}=\frac{a^4-81}{a^2-9}=a^2+9.\]

Так как \(a^2\ge 0\), то \(a^2+9>0\).

б) \(\frac{2b^2+8b+6}{b^2-9}=\frac{2(b+1)}{b-3}\), а \(\frac{(b-1)^3}{3-b}=-\frac{(b-1)^3}{b-3}\). Поэтому

\[\frac{2(b+1)-(b-1)^3}{b-3}=\frac{-b^3+3b^2-b+3}{b-3}.\]

При допустимых значениях \(b\ne-3,3\) анализ знаков числителя и знаменателя показывает, что дробь отрицательна.

Ответ: а) положительное число; б) отрицательное число.