68. Докажите, что при любом натуральном n верно равенство (2n + 1)/(n²(n + 1)²) = 1/n² − 1/(n + 1)². Воспользовавшись этим равенством, найдите значение суммы 3/(1²·2²) + 5/(2²·3²) + 7/(3²·4²) + 9/(4²·5²).

\[\frac1{n^2}-\frac1{(n+1)^2}=\frac{(n+1)^2-n^2}{n^2(n+1)^2}=\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}.\]

Следовательно, сумма телескопическая:

\[\frac3{1^2\cdot2^2}+\frac5{2^2\cdot3^2}+\frac7{3^2\cdot4^2}+\frac9{4^2\cdot5^2}=\left(1-\frac14\right)+\left(\frac14-\frac19\right)+\left(\frac19-\frac1{16}\right)+\left(\frac1{16}-\frac1{25}\right)=1-\frac1{25}=\frac{24}{25}.\]

Ответ: \(\frac{24}{25}\).