67. Докажите, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Пусть E, F, G, H — середины сторон AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD.

1. В треугольнике ABC отрезок EF соединяет середины двух сторон, поэтому EF ∥ AC и EF = AC/2.
2. В треугольнике ADC отрезок HG также соединяет середины двух сторон, поэтому HG ∥ AC и HG = AC/2.
3. Следовательно, EF ∥ HG и EF = HG. Четырёхугольник, у которого одна пара противоположных сторон равна и параллельна, является параллелограммом.

Значит, EFGH — параллелограмм.