69. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.

Пусть ABCD — трапеция с основаниями AD и BC, где AD ∥ BC, а M и N — середины диагоналей AC и BD. Обозначим через E середину AD.

1. В треугольнике ADC точки E и M — середины сторон AD и AC. Поэтому EM ∥ DC и EM = DC/2.
2. В треугольнике ABD точки E и N — середины сторон AD и BD. Поэтому EN ∥ AB и EN = AB/2. Для доказательства нужного утверждения удобнее рассмотреть координаты: расположим основания горизонтально, задав A=(0,0), D=(d,0), B=(u,h), C=(u+c,h), где AD=d, BC=c.
3. Середины диагоналей имеют координаты M=((u+c)/2,h/2) и N=((u+d)/2,h/2). Их соединяющий отрезок горизонтален, следовательно, параллелен основаниям.
4. Длина MN равна |(d-c)/2|, то есть половине модуля разности длин оснований.

Вывод: отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен половине разности их длин.