68. Докажите, что четырёхугольник — ромб, если его вершинами являются середины сторон: а) прямоугольника; б) равнобедренной трапеции.

а) Прямоугольник. Обозначим середины сторон прямоугольника последовательно E, F, G, H. По теореме о средней линии треугольника каждая сторона EFGH равна половине диагонали прямоугольника: EF = FG = GH = HE, поскольку диагонали прямоугольника равны. Значит, EFGH — ромб.

б) Равнобедренная трапеция. В равнобедренной трапеции диагонали равны. Каждая сторона четырёхугольника, образованного серединами её сторон, параллельна диагонали трапеции и равна половине этой диагонали. Поэтому все четыре стороны нового четырёхугольника равны, и он является ромбом.