68. Упростить выражение: 1) [a^(4/3)(a^(-1/3) + a^(2/3))]/[a^(1/4)(a^(3/4) + a^(-1/4))]; 2) [b^(1/5)(⁵√(b^4) − ⁵√(b^(-1)))]/[b^(2/3)(∛b − ∛(b^(-2)))]; 3) [a^(5/3)b^(-1) − ab^(-1/3)]/[∛(a^2) − ∛(b^2)]; 4) [a^(1/3)√b + b^(1/3)√a]/[⁶√a + ⁶√b].

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Раскрываем умножение на степень в скобках: числитель равен \(a+a^2=a(a+1)\), знаменатель — \(a+1\). Поэтому выражение равно \(a\).
Преобразуем корни в степени: числитель \(b^{1/5}(b^{4/5}-b^{-1/5})=b-1\), знаменатель \(b^{2/3}(b^{1/3}-b^{-2/3})=b-1\). Дробь равна \(1\) (при допустимых значениях переменной и \(b\ne1\), поскольку при \(b=1\) исходный знаменатель равен нулю).
Положим \(x=\sqrt[3]{a}\), \(y=\sqrt[3]{b}\). Тогда числитель равен \(\frac{x^5}{y^3}-\frac{x^3}{y}=\frac{x^3(x-y)(x+y)}{y^3}\), а знаменатель — \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\). После сокращения получаем \(\frac{x^3}{y^3}=\frac{a}{b}\).
Обозначим \(x=\sqrt[6]{a}\), \(y=\sqrt[6]{b}\). Тогда числитель равен \(x^2y^3+y^2x^3=x^2y^2(x+y)\), а знаменатель — \(x+y\). После сокращения получаем \(x^2y^2=\sqrt[3]{ab}\).

Ответ: 1) \(a\); 2) \(1\); 3) \(\frac{a}{b}\); 4) \(\sqrt[3]{ab}\).