71. Сократить дробь: 1) (x − y)/(x^(1/2) + y^(1/2)); 2) (√a − √b)/(a^(1/4) − b^(1/4)); 3) (m^(1/2) + n^(1/2))/(m + 2√(mn) + n); 4) (c − 2c^(1/2) + 1)/(√c − 1).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Разложим числитель как разность квадратов: \(x-y=(\sqrt x-\sqrt y)(\sqrt x+\sqrt y)\). Сокращаем общий множитель и получаем \(\sqrt x-\sqrt y\).
Положим \(u=\sqrt[4]{a}\), \(v=\sqrt[4]{b}\). Тогда \(\sqrt a-\sqrt b=u^2-v^2=(u-v)(u+v)\). После сокращения получаем \(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}\).
Знаменатель — квадрат суммы: \(m+2\sqrt{mn}+n=(\sqrt m+\sqrt n)^2\). Сокращаем один множитель \(\sqrt m+\sqrt n\): получаем \(\frac{1}{\sqrt m+\sqrt n}\).
Числитель — полный квадрат: \(c-2\sqrt c+1=(\sqrt c-1)^2\). После сокращения получаем \(\sqrt c-1\).

Ответ: 1) \(\sqrt x-\sqrt y\); 2) \(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}\); 3) \(\frac{1}{\sqrt m+\sqrt n}\); 4) \(\sqrt c-1\).