70. Упростить выражение: 1) a^(1/9) · ⁶√(a∛a); 2) (∛(ab^(-2)) + (ab)^(-1/6)) · ⁶√(ab^4); 3) b^(1/12) · ∛(b⁴√b); 4) (∛a + ∛b)(a^(2/3) + b^(2/3) − ∛(ab)).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Представляем корни степенями: \(a^{1/9}\cdot(a\cdot a^{1/3})^{1/6}=a^{1/9+2/9}=a^{1/3}=\sqrt[3]{a}\).
Распределяем множитель по слагаемым: \((ab^{-2})^{1/3}(ab^4)^{1/6}=a^{1/2}=\sqrt a\), а \((ab)^{-1/6}(ab^4)^{1/6}=b^{1/2}=\sqrt b\). Значит, выражение равно \(\sqrt a+\sqrt b\).
\(b^{1/12}\cdot(b\cdot b^{1/4})^{1/3}=b^{1/12+5/12}=b^{1/2}=\sqrt b\).
Обозначим \(x=\sqrt[3]{a}\), \(y=\sqrt[3]{b}\). Тогда выражение имеет вид \((x+y)(x^2+y^2-xy)=x^3+y^3=a+b\).

Ответ: 1) \(\sqrt[3]{a}\); 2) \(\sqrt a+\sqrt b\); 3) \(\sqrt b\); 4) \(a+b\).