7.13. Докажите тождество: 1) $\frac{(a+b)^2}{4ab}-\frac{(a-b)^2}{4ab}=1$; 2) $\frac{(a+b)^2}{a^2+b^2}+\frac{(a-b)^2}{a^2+b^2}=2$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 7.13. Докажите тождество: 1) $\frac{(a+b)^2}{4ab}-\frac{(a-b)^2}{4ab}=1$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Приведём дроби к общему знаменателю и применим формулы квадрата суммы и разности:
\[\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4ab}=\frac{a^2+2ab+b^2-(a^2-2ab+b^2)}{4ab}=\frac{4ab}{4ab}=1.\]
Допустимые значения: $ab\ne0$.
Сложим числители и раскроем скобки:
\[\frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{a^2+b^2}=\frac{a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2}{a^2+b^2}=\frac{2a^2+2b^2}{a^2+b^2}=2.\]
Знаменатель не равен нулю, когда $(a,b)\ne(0,0)$.

7.13. Докажите тождество: 1) \(\frac{(a+b)^2}{4ab}-\frac{(a-b)^2}{4ab}=1\); 2) \(\frac{(a+b)^2}{a^2+b^2}+\frac{(a-b)^2}{a^2+b^2}=2\).