7. (2 балла) Решите неравенство 2*x^2-5x / x-3 <= x.

Решение:

Перенесём \( x \) в левую часть неравенства:

\( \frac{2x^2 - 5x}{x-3} - x \le 0 \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{2x^2 - 5x - x(x-3)}{x-3} \le 0 \)

\( \frac{2x^2 - 5x - x^2 + 3x}{x-3} \le 0 \)

\( \frac{x^2 - 2x}{x-3} \le 0 \)

\( \frac{x(x-2)}{x-3} \le 0 \)

Теперь найдём корни числителя и знаменателя:

\( x(x-2) = 0 \) ⇒ \( x_1 = 0, x_2 = 2 \)

\( x-3 = 0 \) ⇒ \( x_3 = 3 \)

Разместим корни на числовой оси и определим знаки интервалов:

|---|---|---|---|

---|---(-)-0-(+)---2-(-)---3-(+)---

Интервалы: \( (-\infty; 0] \), \( [0; 2] \), \( [2; 3) \), \( (3; +\infty) \)

Нам нужен интервал, где выражение \( \le 0 \). Это \( (-\infty; 0] \) и \( [2; 3) \).

Ответ: \( x \in (-\infty; 0] \cup [2; 3) \).