9. (3 балла) Решите уравнение 2* sin²x - √3 cos(-x) = 0. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π/2; 3π].

Решение:

Преобразуем исходное уравнение \( 2\sin^2x - \sqrt{3}\cos(-x) = 0 \). Используем свойства чётности косинуса: \( \cos(-x) = \cos(x) \).

Уравнение примет вид: \( 2\sin^2x - \sqrt{3}\cos(x) = 0 \).

Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2x = 1 - \cos^2x \):

\( 2(1 - \cos^2x) - \sqrt{3}\cos(x) = 0 \)

\( 2 - 2\cos^2x - \sqrt{3}\cos(x) = 0 \)

\( 2\cos^2x + \sqrt{3}\cos(x) - 2 = 0 \)

Сделаем замену переменной: пусть \( t = \cos(x) \). Тогда получим квадратное уравнение:

\( 2t^2 + \sqrt{3}t - 2 = 0 \)

Найдем дискриминант: \( D = (\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 3 + 16 = 19 \).

Корни квадратного уравнения:

\( t_1 = \frac{-\sqrt{3} + \sqrt{19}}{4} \)

\( t_2 = \frac{-\sqrt{3} - \sqrt{19}}{4} \)

Теперь вернёмся к замене \( t = \cos(x) \):

1. \( \cos(x) = \frac{-\sqrt{3} + \sqrt{19}}{4} \)

Приближённое значение \( \sqrt{19} \) ≈ 4.36. \( \sqrt{3} \) ≈ 1.73. \( \cos(x) \approx \frac{-1.73 + 4.36}{4} = \frac{2.63}{4} \approx 0.6575 \). Это значение лежит в пределах \( [-1; 1] \).

Следовательно, \( x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{19}-\sqrt{3}}{4}\right) + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

2. \( \cos(x) = \frac{-\sqrt{3} - \sqrt{19}}{4} \)

\( \cos(x) \approx \frac{-1.73 - 4.36}{4} = \frac{-6.09}{4} \approx -1.52 \). Это значение меньше -1, поэтому данное уравнение не имеет решений.

Теперь найдём корни, принадлежащие отрезку \( [\frac{\pi}{2}; 3\pi] \).

Из \( \cos(x) = \frac{\sqrt{19}-\sqrt{3}}{4} \) ≈ 0.6575.

На отрезке \( [\frac{\pi}{2}; 3\pi] \) косинус принимает положительные значения в I и IV четвертях. Отрезок \( [\frac{\pi}{2}; 3\pi] \) включает:

• II четверть: \( [\frac{\pi}{2}; \pi] \) - косинус отрицательный
• III четверть: \( [\pi; \frac{3\pi}{2}] \) - косинус отрицательный
• IV четверть: \( [\frac{3\pi}{2}; 2\pi] \) - косинус положительный. Корень: \( x_1 = 2\pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{19}-\sqrt{3}}{4}\right) \).
• I четверть следующего оборота: \( [2\pi; \frac{5\pi}{2}] \) - косинус положительный. Корень: \( x_2 = \arccos\left(\frac{\sqrt{19}-\sqrt{3}}{4}\right) + 2\pi \).
• II четверть следующего оборота: \( [\frac{5\pi}{2}; 3\pi] \) - косинус отрицательный.

Отрезок \( [\frac{\pi}{2}; 3\pi] \) начинается с \( \frac{\pi}{2} \) (где \( \cos(x)=0 \)), проходит через \( \pi \) (где \( \cos(x)=-1 \)), \( \frac{3\pi}{2} \) (где \( \cos(x)=0 \)), \( 2\pi \) (где \( \cos(x)=1 \)), \( \frac{5\pi}{2} \) (где \( \cos(x)=0 \)) и заканчивается в \( 3\pi \) (где \( \cos(x)=-1 \)).

Положительные значения косинуса на этом отрезке будут в интервале \( [\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}] \).

В этом интервале положительное значение \( \cos(x) = \frac{\sqrt{19}-\sqrt{3}}{4} \) будет иметь два решения:

• \( x_1 = 2\pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{19}-\sqrt{3}}{4}\right) \) (этот корень находится в интервале \( [\frac{3\pi}{2}; 2\pi] \))
• \( x_2 = \arccos\left(\frac{\sqrt{19}-\sqrt{3}}{4}\right) + 2\pi \) (этот корень находится в интервале \( [2\pi; \frac{5\pi}{2}] \))

Ответ: \( x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{19}-\sqrt{3}}{4}\right) + 2\pi n \). Корни на отрезке \( [\frac{\pi}{2}; 3\pi] \): \( x_1 = 2\pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{19}-\sqrt{3}}{4}\right) \), \( x_2 = 2\pi + \arccos\left(\frac{\sqrt{19}-\sqrt{3}}{4}\right) \).