7. АС и BD — диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 36°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Дано:

• АС и BD — диаметры окружности с центром О.


• 
  \[ \angle ACB = 36° \]
  

Найти:

• \[ \angle AOD \]

Решение:

1. 
   

   Угол АСВ — вписанный угол, опирающийся на дугу АВ. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается. Следовательно, величина дуги АВ равна:
   \[ \text{Дуга AB} = 2 \times \angle ACB = 2 \times 36° = 72° \]

   
   


2. 
   

   Центральный угол АОВ опирается на ту же дугу АВ. Величина центрального угла равна величине дуги. Следовательно,
   \[ \angle AOB = \text{Дуга AB} = 72° \]

   
   


3. 
   

   Так как АС и BD — диаметры, они пересекаются в центре О. Углы АОВ и COD являются вертикальными, значит, они равны:
   \[ \angle COD = \angle AOB = 72° \]

   
   


4. 
   

   Углы COD и AOD являются смежными, их сумма равна 180°.
   \[ \angle COD + \angle AOD = 180° \]

   
   


5. 
   

   Тогда,
   \[ \angle AOD = 180° - \angle COD = 180° - 72° = 108° \]

   
   

Ответ: 108°