7. АС и BD — диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 36°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Дано:

• АС и BD — диаметры окружности с центром О.
• \[ \angle ACB = 36° \]

Найти:

• \[ \angle AOD \]

Решение:

1. Угол АСВ — вписанный угол, опирающийся на дугу АВ. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается. Следовательно, величина дуги АВ равна: \[ \text{Дуга AB} = 2 \times \angle ACB = 2 \times 36° = 72° \]

2. Центральный угол АОВ опирается на ту же дугу АВ. Величина центрального угла равна величине дуги. Следовательно, \[ \angle AOB = \text{Дуга AB} = 72° \]

3. Так как АС и BD — диаметры, они пересекаются в центре О. Углы АОВ и COD являются вертикальными, значит, они равны: \[ \angle COD = \angle AOB = 72° \]

4. Углы COD и AOD являются смежными, их сумма равна 180°. \[ \angle COD + \angle AOD = 180° \]

5. Тогда, \[ \angle AOD = 180° - \angle COD = 180° - 72° = 108° \]

Ответ: 108°