7*. Чаша в виде полусферы радиусом R = 80 см и шарик внутри чаши вращаются вокруг вертикальной оси с постоянной по модулю скоростью. Если расстояние от шарика до нижней точки чаши равно ее радиусу, то угловая скорость вращения чаши составляет ... рад/с.

Для движения шарика по горизонтальной окружности радиуса r вертикальная составляющая силы реакции чаши уравновешивает тяжесть, а горизонтальная создаёт центростремительное ускорение. Из геометрии чаши: расстояние от нижней точки до шарика равно R, поэтому высота шарика над нижней точкой h = R − R/√2, а радиус окружности r = R/√2.

Угол между радиусом сферы к шарику и вертикалью равен 45°, поэтому отношение горизонтальной составляющей реакции к вертикальной равно 1. Следовательно, ω²r = g, откуда ω = √(g/r) = √(√2g/R).

Подставим R = 0,80 м и g = 9,8 м/с²: ω ≈ √(1,414 · 9,8 / 0,80) ≈ 4,16 рад/с.

Ответ: примерно 4,2 рад/с.