7. Через середину диагонали AC прямоугольника ABCD перпендикулярно этой диагонали проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках K и E соответственно. Известно, что KE = AE = 8 см. Найдите большую сторону прямоугольника.

Обозначим \(AD=h\), \(AB=w\), а координаты вершин зададим так: \(A(0,0)\), \(B(w,0)\), \(C(w,h)\), \(D(0,h)\). Середина AC имеет координаты \((w/2,h/2)\). Прямая, перпендикулярная AC, имеет наклон \(-w/h\).

Обозначим через E точку пересечения этой прямой с AD. Из уравнения прямой получаем \(AE=h/2+w^2/(2h)=8\). Между сторонами AD и BC горизонтальное расстояние равно w, поэтому \(KE=w\sqrt{1+(w/h)^2}=8\).

Положим \(t=w/h\). Из равенства выражений для AE и KE следует \((1+t^2)/2=t\sqrt{1+t^2}\). Поскольку \(t>0\), получаем \(\sqrt{1+t^2}=2t\), откуда \(t=1/\sqrt3\). Подставляя в формулу для AE, находим \(8=h(1+t^2)/2=2h/3\), значит, \(h=12\) см и \(w=4\sqrt3\) см.

Большая сторона прямоугольника равна 12 см.

Ответ: 12 см.