7) Дано: \(BB_1\parallel CC_1\), \(BC\cap\alpha=A\), \(B_1\in\alpha\), \(C_1\in\alpha\). Доказать: \(A\in B_1C_1\).

Точки \(A,B,C\) лежат на одной прямой, а прямые \(BB_1\) и \(CC_1\) параллельны. Эти две параллельные прямые задают плоскость, содержащую точки \(B,C,B_1,C_1\), а значит, и прямую \(BC\). В этой плоскости лежит точка \(A\), так как \(A\in BC\).

Плоскость \(\alpha\) содержит точки \(A,B_1,C_1\). Пересечение плоскости, содержащей \(BC\) и параллельные прямые, с \(\alpha\) — прямая \(B_1C_1\). Поскольку \(A\) принадлежит обеим плоскостям, она лежит на их линии пересечения.

Ответ: \(A\in B_1C_1\).