7. Докажите, что выражение x² – 6х + 13 принимает положительные значения при всех значениях х.

7. Доказательство положительных значений выражения:

Рассмотрим выражение \( x^2 - 6x + 13 \).

Выделим полный квадрат:

\( x^2 - 6x + 13 = (x^2 - 6x + 9) + 4 \)

Первая часть \( x^2 - 6x + 9 \) является квадратом разности \( (x - 3)^2 \).

Таким образом, выражение можно переписать как:

\( (x - 3)^2 + 4 \)

Поскольку квадрат любого действительного числа \( (x - 3)^2 \) неотрицателен (то есть \( (x - 3)^2 \geq 0 \) для любого \( x \)), то \( (x - 3)^2 + 4 \geq 0 + 4 \).

Следовательно, \( (x - 3)^2 + 4 \geq 4 \).

Так как \( 4 > 0 \), то выражение \( x^2 - 6x + 13 \) всегда принимает положительные значения (больше или равные 4) при всех значениях \( x \).

Доказано.