7. Два тела движутся вдоль одной прямой так, что их уравнения движения имеют вид: x₁ = 8t; x₂ = 15 + t². а) Для каждого тела записать уравнение скорости и построить график зависимости проекции скорости от времени vₓ = vₓ(t). б) Через какое время и где одно из этих тел догонит другое? Задачу решить аналитически и графически, построив в одних и тех же координатных осях графики движения.

а) Уравнения скоростей. Проекция скорости равна производной координаты по времени: \(v_{1x}=8\) м/с, \(v_{2x}=2t\) м/с.

б) Решение аналитически. В моменты встречи координаты равны: \(8t=15+t^2\). Перенесём всё в одну часть: \(t^2-8t+15=0\), то есть \((t-3)(t-5)=0\). Получаем два момента встречи: \(t=3\) с и \(t=5\) с. При \(t=3\) с координата обоих тел равна \(x=8\cdot3=24\) м; при \(t=5\) с — \(x=8\cdot5=40\) м.

Графики координат построены в одних осях. Их точки пересечения соответствуют двум встречам.

Ответ: первое тело догонит второе через 3 с в точке x = 24 м. Графики также показывают повторную встречу через 5 с в точке x = 40 м.