7. Две точки движутся по законам x₁(t) = 4t² + 2 и x₂(t) = 3t² +4t-1 (x — в метрах, t — в секундах). Найдите скорости движения то-чек в те моменты, когда пройденные ими расстояния равны.

Пошаговое решение:

1. Найдем моменты времени, когда расстояния равны, то есть x₁(t) = x₂(t):
   4t² + 2 = 3t² + 4t - 1
   4t² - 3t² - 4t + 2 + 1 = 0
   t² - 4t + 3 = 0.
2. Решим квадратное уравнение:
   (t-1)(t-3) = 0
   t₁ = 1 с, t₂ = 3 с.
3. Найдем скорости точек, как производные от их координат:
   v₁(t) = x₁'(t) = (4t² + 2)' = 8t.
   v₂(t) = x₂'(t) = (3t² + 4t - 1)' = 6t + 4.
4. Вычислим скорости в момент t₁ = 1 с:
   v₁(1) = 8 * 1 = 8 м/с.
   v₂(1) = 6 * 1 + 4 = 10 м/с.
5. Вычислим скорости в момент t₂ = 3 с:
   v₁(3) = 8 * 3 = 24 м/с.
   v₂(3) = 6 * 3 + 4 = 18 + 4 = 22 м/с.

Ответ: В момент t=1 с: v₁=8 м/с, v₂=10 м/с. В момент t=3 с: v₁=24 м/с, v₂=22 м/с.