7. Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полёта камня описывается формулой \(y=ax^2+bx\), где \(a=-\frac{1}{160}\), \(b=\frac{7}{8}\) — постоянные параметры, \(x\) (м) — смещение камня по горизонтали, \(y\) (м) — высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 14 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

Чтобы камень перелетел стену с запасом не менее 1 м, на расстоянии до стены его высота должна быть не менее \(14+1=15\) м.

Подставим параметры в уравнение траектории: \(y=-\frac{x^2}{160}+\frac{7x}{8}\). Решим граничное уравнение для высоты 15 м:

\(-\frac{x^2}{160}+\frac{7x}{8}=15\).

Умножим на 160: \(-x^2+140x=2400\), то есть \(x^2-140x+2400=0\).

Корни: \(x=20\) и \(x=120\). Камень находится на высоте не менее 15 м при \(20\leq x\leq120\). Наибольшее допустимое расстояние от места запуска до стены соответствует дальнему пересечению этой высоты: \(120\) м.

Ответ: 120 м.