7. Меньшая сторона прямоугольника равна 6. Угол между диагоналями равен 60°. Найдите радиус описанной окружности этого прямоугольника.

Решение:

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Радиус описанной окружности равен половине диагонали.

• Пусть меньшая сторона прямоугольника равна a = 6 см.
• Пусть диагонали пересекаются в точке O.
• Угол между диагоналями равен 60°. Рассмотрим треугольник, образованный диагоналями и стороной прямоугольника.
• В прямоугольнике диагонали равны: d₁ = d₂ = d.
• Радиус описанной окружности R = d/2.
• Рассмотрим треугольник, образованный двумя радиусами (половинами диагоналей) и стороной прямоугольника.
• Пусть угол между диагоналями, прилежащими к большей стороне, равен α. Тогда угол между диагоналями, прилежащими к меньшей стороне, равен 180° - α.
• В условии сказано, что угол между диагоналями равен 60°. Это может быть как острый, так и тупой угол.
• Случай 1: Острый угол между диагоналями равен 60°.
• Рассмотрим треугольник, образованный двумя радиусами (R) и меньшей стороной прямоугольника (a = 6). Угол между радиусами равен 60°.
• Так как два радиуса равны, треугольник равнобедренный. Если угол при вершине равен 60°, то этот треугольник равносторонний.
• Следовательно, все стороны треугольника равны, в том числе и сторона прямоугольника: R = R = a = 6 см.
• Тогда диагональ прямоугольника d = 2R = 12 см.
• Проверим, является ли 6 меньшей стороной. Найдем другую сторону (b) по теореме Пифагора:
• \[ d^2 = a^2 + b^2 \]
• \[ 12^2 = 6^2 + b^2 \]
• \[ 144 = 36 + b^2 \]
• \[ b^2 = 144 - 36 = 108 \]
• \[ b = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \] см.
• Так как 6 < 6∑3, то a=6 действительно меньшая сторона.
• Случай 2: Тупой угол между диагоналями равен 60°.
• Это противоречит условию, так как тупой угол должен быть больше 90°. Поэтому случай 1 является единственным возможным.
• Радиус описанной окружности равен R = 6 см.

Ответ: 6 см