7. Моторная лодка прошла против течения реки 21 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 20 мин меньше, чем при движении против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч.

Решение:

Дано:

• Расстояние (туда и обратно): \( S = 21 \) км.
• Разница во времени: \( \Delta t = 20 \) мин = \( \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \) ч.
• Скорость течения: \( v_{тек} = 2 \) км/ч.

Найти: Скорость лодки в неподвижной воде \( v_{л} \).

Решение:

Обозначим скорость лодки в неподвижной воде как \( v_{л} \).

Скорость лодки по течению: \( v_{по\_т} = v_{л} + v_{тек} = v_{л} + 2 \) км/ч.

Скорость лодки против течения: \( v_{против\_т} = v_{л} - v_{тек} = v_{л} - 2 \) км/ч.

Время в пути против течения: \( t_{против\_т} = \frac{S}{v_{против\_т}} = \frac{21}{v_{л} - 2} \) ч.

Время в пути по течению: \( t_{по\_т} = \frac{S}{v_{по\_т}} = \frac{21}{v_{л} + 2} \) ч.

По условию, время движения против течения было на 20 минут (\( \frac{1}{3} \) часа) больше, чем по течению. Значит:

\( t_{против\_т} - t_{по\_т} = \frac{1}{3} \)

\( \frac{21}{v_{л} - 2} - \frac{21}{v_{л} + 2} = \frac{1}{3} \)

Приведём дроби к общему знаменателю \( 3(v_{л} - 2)(v_{л} + 2) \):

\( 21 \cdot 3 (v_{л} + 2) - 21 \cdot 3 (v_{л} - 2) = (v_{л} - 2)(v_{л} + 2) \)

\( 63(v_{л} + 2) - 63(v_{л} - 2) = v_{л}^2 - 4 \)

\( 63v_{л} + 126 - 63v_{л} + 126 = v_{л}^2 - 4 \)

\( 252 = v_{л}^2 - 4 \)

\( v_{л}^2 = 252 + 4 \)

\( v_{л}^2 = 256 \)

\( v_{л} = \sqrt{256} \)

\( v_{л} = 16 \)

Скорость лодки в неподвижной воде должна быть больше скорости течения, что выполняется (16 > 2). Скорость не может быть отрицательной.

Ответ: Скорость лодки в неподвижной воде равна 16 км/ч.