8. Сократите дробь \( \frac{16 + 2\sqrt{39}}{\sqrt{13} + \sqrt{3}} \)

Решение:

Попробуем преобразовать числитель так, чтобы можно было сократить дробь. Заметим, что \( 2\sqrt{39} = 2\sqrt{13 \cdot 3} = 2\sqrt{13}\sqrt{3} \).

Представим числитель в виде:

\( 16 + 2\sqrt{13}\sqrt{3} \)

Попробуем выразить \( 16 \) через \( 13 \) и \( 3 \). Например, \( 13 + 3 = 16 \).

Тогда числитель можно записать как \( (\sqrt{13})^2 + (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{13}\sqrt{3} \).

Это формула квадрата суммы: \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).

В нашем случае \( a = \sqrt{13} \) и \( b = \sqrt{3} \).

Значит, числитель равен \( (\sqrt{13} + \sqrt{3})^2 \).

Теперь подставим это в дробь:

\( \frac{(\sqrt{13} + \sqrt{3})^2}{\sqrt{13} + \sqrt{3}} \)

Сократим дробь на \( (\sqrt{13} + \sqrt{3}) \) (при условии, что \( \sqrt{13} + \sqrt{3} \neq 0 \), что верно):

\( \sqrt{13} + \sqrt{3} \)

Ответ: \( \sqrt{13} + \sqrt{3} \).