7. На диагонали NK прямоугольника MNPK отложены равные отрезки NA и KE. Докажите: а) что треугольники ANP и EKM равны; б) что четырёхугольник APEM — параллелограмм.

а) В прямоугольнике противоположные стороны равны: \(NP=MK\), а углы \(ANP\) и \(EKM\) прямые. По условию \(NA=KE\). Следовательно, прямоугольные треугольники ANP и EKM равны по двум катетам.

б) Из равенства треугольников следует \(AP=EM\). Кроме того, диагональ прямоугольника делится пополам, а равные отрезки NA и KE означают, что точки A и E симметричны относительно середины NK. При центральной симметрии прямоугольника относительно этой середины точка P переходит в M, поэтому отрезок PE переходит в MA и \(PE=MA\). У четырёхугольника APEM обе пары противоположных сторон равны, следовательно, APEM — параллелограмм.