7. На координатной плоскости изображены векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\). Найдите длину вектора \(4\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}\).

Решение:

По координатной плоскости определим координаты векторов:

\(\vec{a}\) = (2; -1)

\(\vec{b}\) = (1; 2)

\(\vec{c}\) = (-1; -2)

Вычислим \(4\vec{a}\), \(2\vec{b}\) и \(3\vec{c}\):

\[ 4\vec{a} = 4 \cdot (2; -1) = (8; -4) \]

\[ 2\vec{b} = 2 \cdot (1; 2) = (2; 4) \]

\[ 3\vec{c} = 3 \cdot (-1; -2) = (-3; -6) \]

Теперь найдем сумму \(4\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}\):

\[ 4\vec{a} + 2\vec{b} + 3\vec{c} = (8 + 2 + (-3); -4 + 4 + (-6)) = (10 - 3; 0 - 6) = (7; -6) \]

Найдем длину полученного вектора:

\[ \left| 4\vec{a} + 2\vec{b} + 3\vec{c} \right| = \sqrt{7^2 + (-6)^2} = \sqrt{49 + 36} = \sqrt{85} \]

Ответ: \(\sqrt{85}\)