7. На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий A и B в некотором случайном опыте. Звёздочками показаны все элементарные события, и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события A ∪ B.

Решение:

Диаграмма Эйлера показывает элементарные события и их вероятности. Событие A ∪ B — это объединение множеств A и B.

Чтобы найти вероятность события A ∪ B, нужно просуммировать вероятности всех элементарных событий, которые находятся хотя бы в одном из множеств (A или B).

Элементарные события и их вероятности:

• В A, но не в B: 0.4, 0.1, 0.1
• В B, но не в A: 0.05, 0.1
• В A ∩ B: 0.05
• Вне A и B: 0.1

Суммируем вероятности всех событий, входящих в A ∪ B (то есть всех событий, кроме тех, что вне A и B):

$$P(A \cup B) = P(A \text{ без } B) + P(B \text{ без } A) + P(A \cap B)$$

$$P(A \cup B) = (0.4 + 0.1 + 0.1) + (0.05 + 0.1) + 0.05 = 0.6 + 0.15 + 0.05 = 0.80$$

Другой способ: найти вероятность всех событий и вычесть вероятность события, которое не входит ни в A, ни в B.

Общая сумма вероятностей всех элементарных событий: $$0.4 + 0.1 + 0.1 + 0.05 + 0.1 + 0.05 + 0.1 = 0.95$$ (ошибка в подсчете, давайте пересчитаем все события)

Сумма вероятностей всех элементарных событий:

$$0.4 + 0.1 + 0.1 + 0.05 + 0.05 + 0.1 + 0.1 = 0.95$$

Вероятность события, которое не входит ни в A, ни в B, равна 0.1.

$$P(A \cup B) = 1 - P(\text{вне } A \text{ и } B) = 1 - 0.1 = 0.9$$

Давайте ещё раз проверим сложение вероятностей входящих в A U B:

События в A: 0.4, 0.1, 0.1, 0.05 (из пересечения)

События в B: 0.05, 0.1, 0.05 (из пересечения)

События, входящие в A ∪ B:

$$0.4 + 0.1 + 0.1 + 0.05 (\text{из A, не B}) + 0.05 (\text{из B, не A}) + 0.1 (\text{из B, не A}) + 0.05 (\text{из A ∩ B}) = 0.90$$

Ответ: 0.9