7. На рисунке изображён ромб ABCD. Найдите x, если AO = 8, расстояние от O до стороны BC равно 4, а x — угол между диагональю BD и стороной DC.

Обозначим BO = q. Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому сторона ромба равна \(\sqrt{8^2+q^2}\). Площадь ромба также равна удвоенной площади треугольника BOC: \(S=2\cdot\frac{1}{2}\cdot BC\cdot4=4BC\). С другой стороны, \(S=2\cdot8q=16q\). Значит, \(BC=4q\).

Но в прямоугольном треугольнике BOC \(BC=\sqrt{8^2+q^2}\). Поэтому \(\sqrt{64+q^2}=4q\), откуда \(64=15q^2\) и \(q=8/\sqrt{15}\).

Диагональ BD делит угол D пополам. В прямоугольном треугольнике DOC имеем \(\tan x=OC/OD=8/q=\sqrt{15}\).

Ответ: \(x=\arctan(\sqrt{15})\), приблизительно 75.5°.