7. На рисунке: треугольник ABC прямоугольный при C; точка M лежит на CB, CM = 4, MB = 5, AC = x, AB = √(x² + 81); AM — биссектриса угла A. Найти x.

По теореме о биссектрисе \(\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{CM}{MB}\), значит \(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+81}}=\dfrac{4}{5}\).

Возводим обе части в квадрат: \(25x^2=16(x^2+81)\).

\(25x^2=16x^2+1296\); \(9x^2=1296\); \(x^2=144\). Так как длина положительна, \(x=12\).

Ответ: \(x=12\).