8. На рисунке: треугольник ABC прямоугольный при C; O лежит на AB, AO = 30, OB = 40. Горизонтальный отрезок от AC до O равен вертикальному отрезку от O до CB. Найти a = CB и b = AC.

Гипотенуза \(AB=AO+OB=30+40=70\). По рисунку горизонтальный и вертикальный отрезки, задающие положение O, равны.

Введём координаты \(C=(0,0)\), \(A=(0,b)\), \(B=(a,0)\). Так как \(AO:OB=3:4\), точка O делит AB в отношении 3:4 от A, поэтому \(O=(3a/7,4b/7)\). Равенство отмеченных отрезков даёт \(3a/7=4b/7\), то есть \(3a=4b\).

Следовательно, катеты относятся как \(a:b=4:3\). Это треугольник с отношением сторон 3:4:5; при гипотенузе 70 получаем множитель 14.

\(a=4\cdot14=56\), \(b=3\cdot14=42\).

Ответ: \(a=56,\ b=42\).