7. На сторонах AB, BC, CD, AD квадрата ABCD отмечены соответственно точки P, M, E и K так, что AP=BM=CE=DK=5 см, угол APK равен 60°. Найдите периметр четырехугольника PMEK.

Пусть сторона квадрата равна a. Введём координаты A(0,0), B(a,0), C(a,a), D(0,a). Тогда P(5,0), M(a,5), E(a−5,a), K(0,a−5).

Векторы PA = (−5,0) и PK = (−5,a−5). Угол APK равен 60°, поэтому cos 60° = 5 / √(25 + (a−5)²). Отсюда √(25 + (a−5)²) = 10, значит (a−5)² = 75 и a−5 = 5√3.

Сторона PM имеет длину √((a−5)² + 25) = 10. По симметрии все стороны четырёхугольника PMEK равны 10 см.

Ответ: 40 см.