Контрольные задания > 7. На стороне AC треугольника ABC выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.
Вопрос:

7. На стороне AC треугольника ABC выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Доказательство:

  1. Рассмотрим треугольники ABD и CBE.
  2. По условию, AD = CE.
  3. Пусть AD = CE = x.
  4. Тогда AB = AE + EB и BC = BD + DC.
  5. AC = AD + DE = CE + DE.
  6. Рассмотрим треугольники BDE. У нас есть BD = BE (по условию).
  7. Значит, треугольник BDE — равнобедренный.
  8. Рассмотрим треугольники ABD и CBE.
  9. У нас есть:
    • BD = BE (по условию)
    • AD = CE (по условию)
    • Угол ADB = Угол CEB (смежные с углами BDA и BEC).
  10. Чтобы доказать, что треугольник ABC равнобедренный, нам нужно доказать, что AB = BC.
  11. Рассмотрим треугольники ABD и CBE. Мы не можем использовать признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, так как нам неизвестно равенство углов при основании BD и BE, или равенство углов A и C.
  12. Рассмотрим теорему косинусов в треугольнике ABD: BD2 = AB2 + AD2 - 2 * AB * AD * cos(A)
  13. Рассмотрим теорему косинусов в треугольнике CBE: BE2 = BC2 + CE2 - 2 * BC * CE * cos(C)
  14. Так как BD = BE, то BD2 = BE2:
  15. AB2 + AD2 - 2 * AB * AD * cos(A) = BC2 + CE2 - 2 * BC * CE * cos(C)
  16. Так как AD = CE, то AD2 = CE2:
  17. AB2 - 2 * AB * AD * cos(A) = BC2 - 2 * BC * CE * cos(C)
  18. Это не приводит к простому решению.
  19. Вернемся к равенству треугольников.
  20. Рассмотрим треугольники BDA и BEC.
  21. У нас есть:
    • BD = BE (по условию)
    • AD = CE (по условию)
    • Пусть угол BDA = α. Тогда угол BEC = 180° - α.
    • Угол CDB = 180° - α. Угол BEA = 180° - α.
  22. Рассмотрим треугольники BDC и BEA.
  23. У нас есть:
    • BD = BE (по условию)
    • DC = AC - AD
    • EA = AC - CE
    • Так как AD = CE, то DC = EA.
    • Угол BDC = Угол BEA (смежные с углами, равными 180 - α).
  24. Следовательно, по двум сторонам и углу между ними (СУС), треугольники BDC и BEA равны.
  25. Из равенства треугольников BDC и BEA следует, что:
    • Угол DBC = Угол EBA
    • Угол BCD = Угол BAE (т.е. Угол C = Угол A)
  26. Так как Угол C = Угол A, то треугольник ABC является равнобедренным.

Что и требовалось доказать.

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю

Похожие