7. Найдите длину наибольшего отрезка, параллельного оси ординат и лежащего внутри фигуры, ограниченной параболами y = x² − 5x + 3 и y = 1 − x².

Длина вертикального отрезка при заданном x равна разности ординат верхней и нижней парабол. Найдём промежуток, на котором они ограничивают фигуру:

1. Точки пересечения удовлетворяют уравнению x² − 5x + 3 = 1 − x², то есть 2x² − 5x + 2 = 0. Корни: x = 1/2 и x = 5/2.

2. На этом промежутке верхняя парабола имеет уравнение y = 1 − x². Вертикальный отрезок имеет длину L(x) = (1 − x²) − (x² − 5x + 3) = −2x² + 5x − 2.

3. Эта квадратичная функция достигает максимума в вершине: x = −5/(2 · (−2)) = 5/4. Тогда L(5/4) = −2 · 25/16 + 25/4 − 2 = 9/8.

Ответ: 9/8 единицы длины.