7. Найдите наименьшее целое решение неравенства \( \sqrt{\frac{x^2+5x+6}{x+2}} < 1 \)

Решение:

1. Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

\( \sqrt{\frac{x^2+5x+6}{x+2}} - 1 < 0 \)

\( \frac{\sqrt{x^2+5x+6} - \sqrt{x+2}}{\sqrt{x+2}} < 0 \)

Для выполнения этого неравенства, нам нужно, чтобы числитель и знаменатель имели разные знаки. Однако, квадратный корень всегда неотрицателен, поэтому \( \sqrt{x+2} \) должен быть положительным, а \( \sqrt{x^2+5x+6} - \sqrt{x+2} \) — отрицательным.

2. Рассмотрим знаменатель: \( \sqrt{x+2} > 0 \) \( \Rightarrow x+2 > 0 \) \( \Rightarrow x > -2 \).
3. Рассмотрим числитель: \( \sqrt{x^2+5x+6} - \sqrt{x+2} < 0 \) \( \Rightarrow \sqrt{x^2+5x+6} < \sqrt{x+2} \).
4. Возведем обе части в квадрат (все выражения под корнем неотрицательны в силу ОДЗ): \( x^2+5x+6 < x+2 \)
5. Решим полученное квадратное неравенство: \( x^2+4x+4 < 0 \) \( \Rightarrow (x+2)^2 < 0 \).
6. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Таким образом, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: Наименьшего целого решения нет.