9. Найдите количество различных корней уравнения (sin x + cos x)² = sin 8x + 1, принадлежащих промежутку [0; π/2].

Решение:

1. Раскроем квадрат в левой части уравнения:

\( (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = (\sin^2 x + \cos^2 x) + 2 \sin x \cos x = 1 + \sin(2x) \)

Теперь уравнение выглядит так:

\( 1 + \sin(2x) = \sin(8x) + 1 \)

\( \sin(2x) = \sin(8x) \)

2. Решим тригонометрическое уравнение \( \sin A = \sin B \). Оно имеет два случая:

• Случай 1: \( A = B + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

\( 2x = 8x + 2\pi k \)

\( -6x = 2\pi k \)

\( x = -\frac{\pi k}{3} \)

• Случай 2: \( A = \pi - B + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

\( 2x = \pi - 8x + 2\pi k \)

\( 10x = \pi + 2\pi k \)

\( x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5} = \frac{\pi(1+2k)}{10} \)

3. Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку \( [0; \frac{\pi}{2}] \).
4. Для случая 1: \( x = -\frac{\pi k}{3} \)

• Если \( k=0 \), то \( x = 0 \). Этот корень принадлежит промежутку.
• Если \( k=-1 \), то \( x = \frac{\pi}{3} \). Этот корень принадлежит промежутку (\( \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{6} \), \( \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6} \)).
• Если \( k=-2 \), то \( x = \frac{2\pi}{3} \). Этот корень НЕ принадлежит промежутку, так как \( \frac{2\pi}{3} > \frac{\pi}{2} \).
• При \( k>0 \) \( x \) будет отрицательным, что вне промежутка.

Из первого случая имеем два корня: \( 0 \) и \( \frac{\pi}{3} \).

4. Для случая 2: \( x = \frac{\pi(1+2k)}{10} \)

• Если \( k=0 \), то \( x = \frac{\pi}{10} \). Этот корень принадлежит промежутку.
• Если \( k=1 \), то \( x = \frac{\pi(1+2)}{10} = \frac{3\pi}{10} \). Этот корень принадлежит промежутку (\( \frac{3\pi}{10} \) < \( \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2} \)).
• Если \( k=2 \), то \( x = \frac{\pi(1+4)}{10} = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2} \). Этот корень принадлежит промежутку.
• Если \( k=-1 \), то \( x = \frac{\pi(1-2)}{10} = -\frac{\pi}{10} \). Этот корень НЕ принадлежит промежутку.
• При \( k>2 \) \( x \) будет больше \( \frac{\pi}{2} \).

Из второго случая имеем три корня: \( \frac{\pi}{10} \), \( \frac{3\pi}{10} \) и \( \frac{\pi}{2} \).

5. Объединяя корни из обоих случаев, получаем: \( 0, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{10}, \frac{3\pi}{10}, \frac{\pi}{2} \).
6. Все эти корни различные.

Ответ: 5