8. Найдите сумму квадратов корней уравнения x² + 5x - 8 = 2√x² + 5x + 7.

Решение:

Введем замену переменной. Пусть \( y = x^2 + 5x \).

Тогда уравнение примет вид: \( y - 8 = 2\sqrt{y+7} \)

1. Возведем обе части в квадрат: \( (y - 8)^2 = (2\sqrt{y+7})^2 \)
2. \( y^2 - 16y + 64 = 4(y+7) \)
3. \( y^2 - 16y + 64 = 4y + 28 \)
4. \( y^2 - 20y + 36 = 0 \)
5. Решим квадратное уравнение относительно \( y \):

\( D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 400 - 144 = 256 \)

\( y_1 = \frac{20 + \sqrt{256}}{2} = \frac{20 + 16}{2} = 18 \)

\( y_2 = \frac{20 - \sqrt{256}}{2} = \frac{20 - 16}{2} = 2 \)

6. Теперь вернемся к замене \( y = x^2 + 5x \).
7. Для \( y_1 = 18 \): \( x^2 + 5x = 18 \) \( \Rightarrow x^2 + 5x - 18 = 0 \)

Найдем сумму квадратов корней этого уравнения по теореме Виета. Пусть \( x_1, x_2 \) — корни. Тогда \( x_1 + x_2 = -5 \) и \( x_1 x_2 = -18 \).

\( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = (-5)^2 - 2(-18) = 25 + 36 = 61 \).

8. Для \( y_2 = 2 \): \( x^2 + 5x = 2 \) \( \Rightarrow x^2 + 5x - 2 = 0 \)

Найдем сумму квадратов корней этого уравнения. Пусть \( x_3, x_4 \) — корни. Тогда \( x_3 + x_4 = -5 \) и \( x_3 x_4 = -2 \).

\( x_3^2 + x_4^2 = (x_3 + x_4)^2 - 2x_3 x_4 = (-5)^2 - 2(-2) = 25 + 4 = 29 \).

10. Общая сумма квадратов корней исходного уравнения будет равна сумме сумм квадратов корней из каждого случая:

\( 61 + 29 = 90 \).

Ответ: 90