7) Найдите площадь ромба ABCD, если BO = 4, ∠BAC = 30°; O — точка пересечения диагоналей.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому треугольник AOB прямоугольный, а \(\angle BAO = 30^\circ\). Из \(\tan 30^\circ = \frac{BO}{AO}\) следует \(AO = 4\sqrt{3}\).

Тогда \(BD = 2BO = 8\), \(AC = 2AO = 8\sqrt{3}\). Площадь ромба равна половине произведения диагоналей: \(S = \frac{AC\cdot BD}{2} = \frac{8\sqrt{3}\cdot8}{2} = 32\sqrt{3}\).

Ответ: \(32\sqrt{3}\).