7. Найдите точки экстремума и определите их характер: у = 2x³ - 10x² + 6x.

Решение:

1. Найдем производную функции: \( y' = 6x^2 - 20x + 6 \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 6x^2 - 20x + 6 = 0 \). Разделим на 2: \( 3x^2 - 10x + 3 = 0 \).
3. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 \).
4. Корни: \( x_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3 \) и \( x_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).
5. Определим характер точек экстремума с помощью второй производной: \( y'' = 12x - 20 \).
6. При \( x = 3 \): \( y''(3) = 12(3) - 20 = 36 - 20 = 16 > 0 \). Это точка минимума.
7. При \( x = \frac{1}{3} \): \( y''(\frac{1}{3}) = 12(\frac{1}{3}) - 20 = 4 - 20 = -16 < 0 \). Это точка максимума.
8. Найдем значения функции в этих точках:
• \( y(3) = 2(3)^3 - 10(3)^2 + 6(3) = 2(27) - 10(9) + 18 = 54 - 90 + 18 = -18 \).
• \( y(\frac{1}{3}) = 2(\frac{1}{3})^3 - 10(\frac{1}{3})^2 + 6(\frac{1}{3}) = 2(\frac{1}{27}) - 10(\frac{1}{9}) + 2 = \frac{2}{27} - \frac{10}{9} + 2 = \frac{2 - 30 + 54}{27} = \frac{26}{27} \).

Ответ: Точка максимума: (\(\frac{1}{3}\); \(\frac{26}{27}\)). Точка минимума: (3; -18).