б) Укажите корни, принадлежащие отрезку \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \).

Решение:

Из уравнения \( \sin x = -\frac{1}{2} \) мы получили корни \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \) и \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \).

Рассмотрим первый вид корней: \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \).

• При \( k = 0 \), \( x = \frac{7\pi}{6} \). Проверим условие: \( \pi < \frac{7\pi}{6} < \frac{3\pi}{2} \) (так как \( \frac{7}{6} \approx 1.17 \) и \( \frac{3}{2} = 1.5 \), \( 1 < 1.17 < 1.5 \) — верно).
• При \( k = 1 \), \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{19\pi}{6} \). Это больше \( \frac{3\pi}{2} \).
• При \( k = -1 \), \( x = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6} \). Это меньше \( \pi \).

Рассмотрим второй вид корней: \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \).

• При \( k = 0 \), \( x = -\frac{\pi}{6} \). Это меньше \( \pi \).
• При \( k = 1 \), \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} \). Проверим условие: \( \pi < \frac{11\pi}{6} < \frac{3\pi}{2} \). \( \frac{11}{6} \approx 1.83 \). \( 1.83 \) не меньше \( 1.5 \), поэтому этот корень не подходит.
• Альтернативный вид корней: \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \) можно записать как \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \) (если k=0, x = 5pi/6).
• Для \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \), при \( k=1 \) получаем \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} \). \( \pi < \frac{11\pi}{6} \) но \( \frac{11\pi}{6} > \frac{3\pi}{2} \).

Единственный корень, попадающий в заданный интервал \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \), это \( \frac{7\pi}{6} \).

Ответ: \( \frac{7\pi}{6} \)