7. Найдите значение выражения \( \frac{(\sqrt{11} + \sqrt{19})^2}{15 + \sqrt{209}} \).

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Раскрываем квадрат суммы в числителе: \( (\sqrt{11} + \sqrt{19})^2 = (\sqrt{11})^2 + 2 \cdot \sqrt{11} \cdot \sqrt{19} + (\sqrt{19})^2 \).
2. Шаг 2: Упрощаем выражение: \( 11 + 2 \sqrt{11 \cdot 19} + 19 = 30 + 2 \sqrt{209} \).
3. Шаг 3: Теперь подставляем упрощенный числитель обратно в исходное выражение: \( \frac{30 + 2 \sqrt{209}}{15 + \sqrt{209}} \).
4. Шаг 4: Выносим общий множитель 2 из числителя: \( \frac{2(15 + \sqrt{209})}{15 + \sqrt{209}} \).
5. Шаг 5: Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе: \( 2 \).

Ответ: 2