7. Отрезки АВ и МР — диаметры окружности с центром О. Найдите периметр треугольника АОМ, если известно, что РВ=9 см, АВ=12 см.

Задание 7

Дано:

• АВ и МР — диаметры окружности с центром О.
• РВ = 9 см.
• АВ = 12 см.

Найти: Периметр треугольника АОМ.

Решение:

1. Так как АВ — диаметр, то его половина — радиус окружности.
2. Радиус \( R = \frac{AB}{2} = \frac{12 \text{ см}}{2} = 6 \text{ см} \).
3. Все радиусы окружности равны. Следовательно:
• \( AO = OM = OP = OR = 6 \text{ см} \).
4. Мы ищем периметр треугольника АОМ. Стороны этого треугольника — это AO, OM и AM.
5. Мы знаем, что \( AO = 6 \text{ см} \) и \( OM = 6 \text{ см} \).
6. Нам нужно найти длину стороны AM.
7. Рассмотрим треугольник РОВ. OP = OB = 6 см (радиусы). Значит, треугольник РОВ — равнобедренный.
8. Углы при основании равны: \( \angle OPR = \angle ORP \).
9. Угол ∠POB является вертикальным к углу ∠AOM. Значит, \( \angle AOM = \angle POB \).
10. Углы ∠AOP и ∠BOM являются вертикальными, поэтому \( \angle AOP = \angle BOM \).
11. Также, \( \angle AOM + \angle BOM = 180^\circ \) (развернутый угол АОВ).
12. В треугольнике РОВ: \( OP = OB = 6 \text{ см} \) и \( PB = 9 \text{ см} \).
13. Чтобы найти ∠POB, мы можем использовать теорему косинусов для треугольника РОВ, но сначала нам нужно найти косинус этого угла.
14. Альтернативный подход:
15. Мы знаем, что АВ и МР — диаметры. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.
16. Рассмотрим угол ∠APB. Он опирается на диаметр АВ, значит \( \angle APB = 90^\circ \).
17. В прямоугольном треугольнике APB: \( AB = 12 \text{ см} \), \( PB = 9 \text{ см} \).
18. По теореме Пифагора найдем AP:
• \[ AP^2 = AB^2 - PB^2 = 12^2 - 9^2 = 144 - 81 = 63 \]
• \[ AP = \sqrt{63} = \sqrt{9 \times 7} = 3\sqrt{7} \text{ см} \]
19. Теперь рассмотрим треугольник АОМ. AO = 6 см, OM = 6 см. Чтобы найти периметр, нам нужна сторона AM.
20. Давайте вернемся к треугольнику РОВ.
21. OP = 6, OB = 6, PB = 9.
22. В треугольнике АОМ: AO = 6, OM = 6. Угол ∠AOM = ∠POB.
23. Нам нужно найти AM.
24. Попробуем найти что-то через площади или подобные треугольники.
25. Рассмотрим треугольники ΔAOM и ΔPOB.
• AO = OP = 6
• OM = OB = 6
• ∠AOM = ∠POB (вертикальные углы)
26. Следовательно, по двум сторонам и углу между ними, треугольники ΔAOM и ΔPOB равны (по первому признаку равенства треугольников).
27. Значит, AM = PB.
28. Нам дано, что PB = 9 см.
29. Следовательно, AM = 9 см.
30. Теперь можем найти периметр треугольника АОМ:
• Периметр \( P_{AOM} = AO + OM + AM \)
• \[ P_{AOM} = 6 \text{ см} + 6 \text{ см} + 9 \text{ см} = 21 \text{ см} \]

Ответ: 21 см.