7. Отрезок BD — высота треугольника ABC, изображенного на рисунке, AB = 5\(\sqrt{5}\) см, CD = \(\sqrt{11}\) см. Найдите длину стороны BC.

Решение:

Из рисунка видно, что треугольник ABD — прямоугольный (так как BD — высота). По теореме Пифагора:

\( AB^2 = AD^2 + BD^2 \)

\( (5\sqrt{5})^2 = AD^2 + BD^2 \)

\( 25 \cdot 5 = AD^2 + BD^2 \)

\( 125 = AD^2 + BD^2 \) (1)

Треугольник BCD — прямоугольный. По теореме Пифагора:

\( BC^2 = BD^2 + CD^2 \)

\( BC^2 = BD^2 + (\sqrt{11})^2 \)

\( BC^2 = BD^2 + 11 \) (2)

Из рисунка видно, что угол B равен 45°. Так как треугольник BCD прямоугольный, то угол BCD = 90° - 45° = 45°. Следовательно, треугольник BCD — равнобедренный, и \( BD = CD = \sqrt{11} \) см.

Подставим значение BD в уравнение (2):

\( BC^2 = (\sqrt{11})^2 + 11 = 11 + 11 = 22 \)

\( BC = \sqrt{22} \) см.

Ответ: \( \sqrt{22} \) см.