7. Периметр равнобедренного треугольника равен 16, а боковая сторона - 5. Найдите площадь треугольника.

Решение:

1. Периметр равнобедренного треугольника равен сумме двух боковых сторон и основания: \( P = 2a + b \), где \( a \) — боковая сторона, \( b \) — основание.
2. По условию, \( P = 16 \) и \( a = 5 \).
3. Найдём длину основания: \( 16 = 2 \cdot 5 + b \) \( 16 = 10 + b \) \( b = 16 - 10 = 6 \).
4. Основание равнобедренного треугольника равно 6.
5. Высота, опущенная на основание равнобедренного треугольника, делит его пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, половиной основания и высотой. По теореме Пифагора: \( a^2 = h^2 + (\frac{b}{2})^2 \), где \( h \) — высота.
6. Подставим значения: \( 5^2 = h^2 + (\frac{6}{2})^2 \) \( 25 = h^2 + 3^2 \) \( 25 = h^2 + 9 \) \( h^2 = 25 - 9 \) \( h^2 = 16 \) \( h = \sqrt{16} = 4 \).
7. Высота треугольника равна 4.
8. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту: \( S = \frac{1}{2} b h \).
9. Подставим значения: \( S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 3 \cdot 4 = 12 \).

Ответ: 12.