7. Периметр равнобедренного треугольника равен 26см, разность двух сторон равна 5 см, а один из его внешних углов острый. Найдите стороны треугольника.

Решение:

Пусть стороны равнобедренного треугольника равны \( a, a, b \).

Периметр: \( 2a + b = 26 \) см.

Возможны два случая разности сторон:

Случай 1: Разность между боковой стороной и основанием.

\[ a - b = 5 \text{ см} \]

Из этого уравнения выразим \( a = b + 5 \).

Подставим в уравнение периметра:

\[ 2(b + 5) + b = 26 \]

\[ 2b + 10 + b = 26 \]

\[ 3b = 16 \]

\[ b = \frac{16}{3} \text{ см} \]

\[ a = \frac{16}{3} + 5 = \frac{16 + 15}{3} = \frac{31}{3} \text{ см} \]

Стороны: \( \frac{31}{3}, \frac{31}{3}, \frac{16}{3} \) см.

Теперь проверим условие про внешний угол. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если основание — \( \frac{16}{3} \), то углы при нем равны. Если основание — \( \frac{31}{3} \), то углы при нем равны.

Чтобы получить острый внешний угол, внутренний угол должен быть тупым или прямым. Углы при основании равнобедренного треугольника всегда острые. Значит, тупым может быть только угол при вершине. Если угол при вершине тупой, то внешний угол, смежный с ним, будет острым. Это возможно.

Случай 2: Разность между двумя боковыми сторонами.

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, поэтому разность между ними равна 0. Этот случай не подходит.

Проверка:

Периметр: \( \frac{31}{3} + \frac{31}{3} + \frac{16}{3} = \frac{31 + 31 + 16}{3} = \frac{78}{3} = 26 \) см. Условие выполнено.

Разность сторон \( \frac{31}{3} - \frac{16}{3} = \frac{15}{3} = 5 \) см. Условие выполнено.

Ответ: Стороны треугольника равны \( \frac{31}{3} \) см, \( \frac{31}{3} \) см и \( \frac{16}{3} \) см.