7. Периметр ромба равен 40 см, а одна из его диагоналей равна 12 см. Найдите вторую диагональ.

Решение:

Периметр ромба \( P = 4a \), где \( a \) — сторона ромба.

\[ P = 40 \text{ см} \]\[ 4a = 40 \text{ см} \]\[ a = \frac{40}{4} = 10 \text{ см} \]

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба (гипотенузой).

Одна диагональ \( d_1 = 12 \text{ см} \). Половина диагонали \( \frac{d_1}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ см} \).

Сторона ромба \( a = 10 \text{ см} \).

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами \( \frac{d_1}{2} \) и \( \frac{d_2}{2} \) и гипотенузой \( a \):

\[ \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = a^2 \]\[ 6^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 10^2 \]\[ 36 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 100 \]\[ \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 100 - 36 \]\[ \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 64 \]\[ \frac{d_2}{2} = \sqrt{64} = 8 \text{ см} \]

Вторая диагональ \( d_2 = 2 \times 8 = 16 \text{ см} \).

Ответ: 16 см.