7. Плотность некоторой планеты такая же, как и у Земли, а радиус вдвое меньше. Найдите отношение первой космической скорости для Земли и для планеты.

Первая космическая скорость \(v_1=\sqrt{\frac{GM}{R}}\). При одинаковой плотности масса пропорциональна кубу радиуса: \(M=\frac43\pi\rho R^3\). Значит, \(v_1=R\sqrt{\frac{4\pi G\rho}{3}}\), то есть при одинаковой плотности скорость пропорциональна радиусу.

Радиус Земли вдвое больше радиуса планеты, поэтому \(\frac{v_{1,\text{Земля}}}{v_{1,\text{планета}}}=2\).

Ответ: 2:1.