7. Постройте прямоугольник ABCD, если A (-2;4), B (4;4), D (-2; -2). Найдите: а) координаты вершины С; б) координаты точки пересечения диагоналей; в) периметр прямоугольника.

Решение:

Для построения прямоугольника ABCD, имея координаты трех вершин A(-2;4), B(4;4), D(-2;-2), найдем координаты четвертой вершины C.

В прямоугольнике противоположные стороны параллельны и равны. Также, диагонали точкой пересечения делятся пополам.

а) Координаты вершины C:

Поскольку ABCD — прямоугольник, то вектор AB равен вектору DC, и вектор AD равен вектору BC.

Найдем координаты вектора AB: \( \vec{AB} = (4 - (-2); 4 - 4) = (6; 0) \).

Пусть координаты C будут (x; y).

Найдем координаты вектора DC: \( \vec{DC} = (x - (-2); y - (-2)) = (x + 2; y + 2) \).

Приравнивая векторы, получаем:

\( x + 2 = 6 \implies x = 4 \)

\( y + 2 = 0 \implies y = -2 \)

Таким образом, координаты вершины C — (4;-2).

Проверка: Найдем координаты вектора AD: \( \vec{AD} = (-2 - (-2); -2 - 4) = (0; -6) \).

Найдем координаты вектора BC: \( \vec{BC} = (4 - 4; -2 - 4) = (0; -6) \).

Векторы равны, значит, координаты C найдены верно.

б) Координаты точки пересечения диагоналей:

Точка пересечения диагоналей является серединой любой из диагоналей (например, AC или BD).

Найдем середину диагонали BD:

\( M = (\frac{x_B + x_D}{2}; \frac{y_B + y_D}{2}) \)

\( M = (\frac{4 + (-2)}{2}; \frac{4 + (-2)}{2}) = (\frac{2}{2}; \frac{2}{2}) = (1; 1) \)

Координаты точки пересечения диагоналей — (1;1).

в) Периметр прямоугольника:

Длины сторон прямоугольника равны расстояниям между соответствующими вершинами.

Длина стороны AB:

\( AB = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (4 - 4)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6 \)

Длина стороны AD:

\( AD = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = \sqrt{36} = 6 \)

В данном случае AB = AD = 6, что означает, что прямоугольник является квадратом.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле: \( P = 2(AB + AD) \)

\( P = 2(6 + 6) = 2(12) = 24 \)

Ответ: а) Координаты вершины C: (4;-2). б) Координаты точки пересечения диагоналей: (1;1). в) Периметр прямоугольника: 24.