7. При каких значениях b значение выражения ((b − 2)² + 8b + 1)/b является целым?

Область определения: \(b\ne0\). Упростим выражение:

\(\dfrac{(b-2)^2+8b+1}{b}=\dfrac{b^2-4b+4+8b+1}{b}=b+4+\dfrac{5}{b}\).

Условие в задаче не уточняет, что \(b\) — целое число. Для действительных \(b\) ответ можно записать так: выражение целое тогда и только тогда, когда существует целое \(n\), для которого \(b+4+\dfrac5b=n\). Отсюда \(b^2+(4-n)b+5=0\), поэтому

\(b=\dfrac{n-4\pm\sqrt{(n-4)^2-20}}{2}\), где \(n\in\mathbb{Z}\) и \((n-4)^2\ge20\) (то есть \(n\le-1\) или \(n\ge9\)).

Если подразумевается, что \(b\) — целое число, то для целочисленности \(b+4+\dfrac5b\) необходимо и достаточно, чтобы \(b\) делило 5. Тогда \(b\in\{-5,-1,1,5\}\).

Ответ: для целых \(b\): \(-5,-1,1,5\). Если \(b\) может быть действительным, подходят значения, заданные формулой выше.