Ответ:

  1. Туристы попили студёной воды из родника и, поблагодарив хозяина, отправились… Деепричастный оборот поблагодарив хозяина обособляется с двух сторон. Продолжение предложения на фото обрезано.
  2. Пройдя узкую тропинку, мы вышли на лесную дорогу. Деепричастный оборот стоит перед основной частью предложения и отделяется запятой.
  3. Митя работал не покладая рук. Выражение не покладая рук — фразеологический оборот, поэтому запятой не отделяется.
  4. Сашенька, улыбаясь, посмотрела на них и стала заваривать чай. Деепричастие улыбаясь обособляется; перед и запятая не нужна, поскольку однородные сказуемые посмотрела и стала заваривать относятся к одному подлежащему.