7. Решите неравенство: $\left(\dfrac{2}{x-4}+\dfrac{x-4}{2}\right)^2\ge\dfrac{25}{4}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 7. Решите неравенство: $\left(\dfrac{2}{x-4}+\dfrac{x-4}{2}\right)^2\ge\dfrac{25}{4}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Область допустимых значений: $x\ne4$. Обозначим $u=x-4$, тогда $u\ne0$. Умножим неравенство на 4:

\[\left(u+\frac4u\right)^2\ge25\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{(u^2-1)(u^2-16)}{u^2}\ge0.\]

Поскольку $u^2>0$, решаем $(u^2-1)(u^2-16)\ge0$. Отсюда $u^2\le1$ или $u^2\ge16$, с учётом $u\ne0$: $-1\le u<0$, \(0

Подставляем $u=x-4$.

Ответ: $x\in(-\infty,0]\cup[3,4)\cup(4,5]\cup[8,+\infty)$.

7. Решите неравенство: \(\left(\dfrac{2}{x-4}+\dfrac{x-4}{2}\right)^2\ge\dfrac{25}{4}\).