7. Решите неравенство: (x-3)/(x+1) < 0.

Решение:

Решим неравенство \( \frac{x-3}{x+1} < 0 \) методом интервалов.

1. Найдем корни числителя и знаменателя.
2. Корень числителя: \( x - 3 = 0 \) => \( x = 3 \).
3. Корень знаменателя: \( x + 1 = 0 \) => \( x = -1 \).
4. Числовая ось разбивается на три интервала: \( (-\infty; -1) \), \( (-1; 3) \) и \( (3; +\infty) \).
5. Определим знак выражения \( \frac{x-3}{x+1} \) в каждом интервале:
• Возьмем \( x = -2 \) (из интервала \( (-\infty; -1) \)): \( \frac{-2-3}{-2+1} = \frac{-5}{-1} = 5 > 0 \).
• Возьмем \( x = 0 \) (из интервала \( (-1; 3) \)): \( \frac{0-3}{0+1} = \frac{-3}{1} = -3 < 0 \).
• Возьмем \( x = 4 \) (из интервала \( (3; +\infty) \)): \( \frac{4-3}{4+1} = \frac{1}{5} > 0 \).
6. Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля. Следовательно, решением является интервал, где знак отрицательный.

Ответ: \( (-1; 3) \).